§11.5  函数展开成幂级数

一、泰勒级数

如果在处具有任意阶的导数，我们把级数

    (1)

称之为函数在处的泰勒级数。

它的前项部分和用记之，且

这里：

由上册中介绍的泰勒中值定理，有

当然，这里是拉格朗日余项，且

。

由有

。

因此，当时，函数的泰勒级数

就是它的另一种精确的表达式。即

这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。

特别地，当时，

这时，我们称函数可展开成麦克劳林级数。

将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为函数  在  处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。

【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。

证明：设在的某邻域内可展开成的幂级数

据幂级数在收敛区间内可逐项求导，有

把代入上式，有

从而  

于是，函数在处的幂级数展开式其形式为

这就是函数的麦克劳林展开式。

这表明，函数在处的幂级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式。

二、函数展开成幂级数

1、直接展开法

将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行

Œ求出函数的各阶导数及函数值

若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；

写出麦克劳林级数

并求其收敛半径。

Ž考察当时，拉格朗日余项

当时，是否趋向于零。

若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式；

若，则函数无法展开成麦克劳林级数。

【例1】将函数展开成麦克劳林级数。

解：

于是得麦克劳林级数  

而  

故  

对于任意 ，有

这里是与无关的有限数， 考虑辅助幂级数

的敛散性。 由比值法有

故辅助级数收敛，从而一般项趋向于零，即  

因此  ，故

【例2】将函数在处展开成幂级数。

解：

于是得幂级数  

容易求出，它的收敛半径为 

对任意的，有

由例一可知，，故 

因此，我们得到展开式

2、间接展开法

利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质( 如：加减，逐项求导，逐项求积)将所给函数展开。

【例3】将函数展开成的幂级数。

解：对展开式

两边关于逐项求导， 得

【例4】将函数展开成的幂级数。

解：

而  

将上式从到逐项积分得

当时，交错级数

收敛。

故 

下面，我们介绍十分重要牛顿二项展开式

【例5】将函数展开成的幂级数，其中为任意实数。

解：

于是得到幂级数

因此，对任意实数，幂级数在内收敛。

下面，我们证明，该幂级数收敛的和函数就是函数。

设上述幂级数在内的和函数为，即

 

两边同乘以因子，有

即  

引入辅助函数

 

因此，在内，我们有展开式

注记

¶在区间端点处的敛散性，要看实数的取值而定，这里，我们不作进一步地介绍。

·若引入广义组合记号 ，牛顿二项展开式可简记成

最后，我们举一个将函数展开成的幂级数形式的例子。

【例6】将函数展开成的幂级数。

解：作变量替换，则 ，有

而  

于是 

 

§11.6  函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算。

1、一些近似计算中的术语

Œ误差不超过

设为精值，而为近似值，则表示与之间的绝对误差。

误差不超过(  ) 意指：

近似值与精值之差，在小数点后的位是完全一样的，仅在小数点后的第位相差不超过一个单位。

例如：，

有时，也将误差不超过说成：精确到小数点后位。

截断误差(或方法误差)

函数用泰勒多项式

来近似代替，则该数值计算方法的截断误差是

¸舍入误差

用计算机作数值计算，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，用这些近似表示的数据作计算，又可能造成新的误差，这种误差称为舍入误差。

例如，用3.14159 近似代替 p，产生的误差

d =p - 3.14159 = 0.0000026L

就是舍入误差。

2、根式计算

【例1】计算的近似值( 精确到小数四位)。

求根式的近似值，要选取一个函数的幂级数展开式,可选牛顿二项展开式

 

要利用此式，需要将表示成的形式，通常当较小时，计算效果会较好。

这里，可取，。

 

 

解：利用二项展开式，有

如果我们截取前四项来作计算， 则

@

由于的系数是单调递减的，其截断误差可如下估计

@

注明：

Ê表达式也可选其它形式，如

；

Ë在数列的极限理论学习中，我们已形究过数列

，它单调下降，下界为，且

利用此迭代算式,编写Matlab程序gs1101.m,运行此程序，更容易获得的高精度近似值。

3、对数的计算

【例2】计算的近似值(精确到小数后第4位)。

解：我们已有展开式

且 

利用此数项级数来计算的近似值，理论上来说是可行的。其部分和的截断误差为

欲使精度达到，需要的项数应满足，即

，亦即，应要取到10000项，这实在是太大了。

运行Matlab程序gs1102.m,取级数前一万项(n=10000)来作近似计算，可获得下表。并仔细观察项数与所求近似值对照表与计算速度。

由上述程序的运行与结果，有几点感受

Ê部分和的项数取得太大，达到了一万；

Ë其近似值仅有小数点后三位是精确的；

Ì项数增加几十项，并未提供多少有效位数字；

Í计算花费了太多的时间。

这迫使我们去寻找计算ln2更有效的方法。

将展开式

中的换成，得

两式相减，得到不含有偶次幂的展开式

令，解出。以代入得

再对此数项级数编程Matlab下的计算程序gs1103.m，运行该程序可获得项数与所求近似值对照表如下

由表可发现，计算速度大大提高，近似值的精度有十分显著的改进，这种处理手段通常称作幂级数收敛的加速技术。

4、p 的计算

在小学数学学习中，我们就已接触到了圆周率p，可对它的计算却从未真正做过。现在是我们了却这一夙愿的时候了。

由展开式

两边积分，有

令，则，于是有

利用此式可以进行计算，效果(速度与精度)也不错，只是需要的值。借助三角公式，作适当地变形，可构造出不需要计算表达式。

令 ，有

据上式，编写Matlab程序gs1104.m,运行它可获得如下结果。

5、定积分的近似计算

【例3】计算定积分

的近似值，精确到0.0001。

解：因，所给积分不是广义积分，只需定义函数在处的值为1，则它在上便连续了。

展开被积函数，有

在区间上逐项积分，得

因为第四项

所以可取前三项的和作为积分的近似值

对上述级数展开式，我们编写了Matlab程序gs1105.m,运行此程序，可给出截取级数任意项时，此定积分含有更多位有效数值的近似值。

 二、欧拉公式

设有复数项级数为

              (1)

其中为实常数或实函数。如果实部所成的级数

                                     (2)

收敛于和，并且虚部所成的级数

                                     (3)

收敛于和，就说级数(1)收敛且其和为。

如果级数(1)各项的模所构成的级数

                    (4)

收敛，由于

则级数(2)、(3)绝对收敛，从而级数(1)收敛，这时就说级数(1)绝对收敛。

考察复数项级数

           (5)

它的模所形成的级数

绝对收敛。因此，级数(5)在整个复平面上是绝对收敛的。

在轴上()，它表示指数函数，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作。于是定义为

           (6)

当时，为纯虚数，(6)式成为

把换写为，上式变为

                                    (7)

这就是欧拉公式。

应用公式(7)，复数可以表示为指数形式

                              (8)

其中： 是的模，是的辐角。

在(7)式中把换为，又有

 

与(7)相加、相减，得

                                      (9)

这两个式子也叫做欧拉公式。

(7)式与(9)式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系。

根据定义(6)

并利用幂级数的乘法，我们不难验证

特殊地，取为实数，为纯虚数，则有

这就是说，复变量指数函数在处的值是模为、辐角为的复数。

 

§11.8  傅立叶级数

一、三角级数与三角函数系的正交性

描述简谐振动的函数

就是一个以为周期的正弦函数，其中ｙ表示动点的位置，ｔ表示时间，A为振幅，为角频率，为初相。

在实际问题中，还会遇到一些更复杂的周期函数，如电子技术中常用的周期为T的矩形波。

如何深入研究非正弦周期函数呢？联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示与讨论函数，我们也想将周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数，具体的来说，将周期为的周期函数用一系列三角函数组成的级数来表示，记为

                               (1)

其中都是常数。

将周期函数按上述方式展开，它的物理意义量很明确的，这就是把一个复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加，在电工学上这种展开称为谐波分析。

为了讨论的方便，我们将正弦函数变形成为

并且令则(1)式右端的级数就可以改写为

                                 (2)

一般地，形如(2)式的级数叫做三角级数，其中都是常数。

如同讨论幂级数时一样，我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题，以及给定周期为2的周期函数如何把它展开成三角级数(2)。

我们首先介绍三角函数系的正交性。

所谓三角函数系

             (3)

在区间[]上正交，就是指在三角函数系(3)中任何两个不同函数乘积在区间[]上的积分等于零，即

以上等式都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下。利用三角学中的积化和差公式

当时，有

在三角函数系(3)中，两个相同函数的乘积在区间[]上的积分不等于零，且有

              

二、函数展开成傅立叶级数

设是以为周期的周期函数，且能展开成三角级数

我们自然要问：

系数与函数之间存在怎样的关系？换句话说，如何利用把表达出来？

为此，我们进一步假设级数(4)可以逐项积分。

先求，对(4)式从－到逐项积分有

根据三角函数系(3)的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，故

于是得

其次求，用乘(4)式两端，再从－到逐项积分，我们得到

根据三角函数系(3)的正交性，等式右端除一项外，其余各项均为零，故

于是得

类似地，用乘(4)式的两端，再从－到逐项积分，可得

由于当时，的表达式正好为，因此，已得结果可以合并写成

                  (5)

如果公式(5)中的积分都存在，则系数叫做函数的傅立叶系数，将这些系数代入(4)式右端，所得的三角级数

                                (6)

叫做函数的傅立叶级数。

一个定义在上周期为的函数，如果它在一个周期上可积，则一定可以作出的傅立叶级数(6)，但(6)不一定收敛，即使它收敛，其和函数也不一定是，这就产生了一个问题：

需满足怎样的条件，它的傅立叶级数(6)收敛，且收敛于？换句话说，满足什么条件才能展开成傅立叶级数(6)？

下面我们叙述一个收敛定理（不加证明），它给出了关于上述问题的一个重要结论。

【定理】（收敛定理，狄利克雷充分条件）

设是周期为的周期函数，如果它满足：

1、在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；

2、在一个周期内至多有有限个极值点，

则的傅立叶级数收敛，并且

当是的连续点时，级数收敛于；

当是的间断点时，级数收敛于

亦即：

收敛定理告诉我们：只要函数在上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅立叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值，可见，函数展开成傅立叶级数的条件比展开成幂级数的条件要低得多。

【例1】设是以为周期的周期函数，它在上的表达式为

将展开成傅立叶级数。

解:函数的图形如下：

函数仅在处是跳跃间断，满足收敛定理的条件，由收敛定理，的傅立叶级数收敛，并且当时，级数收敛于

当时，级数收敛于。

计算傅立叶系数如下：

的傅立叶级数展开式为

【例2】设是周期为2的周期函数，它在上的表达式为

将展开成傅立叶级数。

解：函数的图形如下：

如图可知，满足收敛定理条件，在间断点处，的傅立叶级数收敛于

在连续点)处收敛于。

计算傅立叶系数如下：

的傅立叶级数展开式为

如果函数仅仅只在[-，]上有定义，并且满足收敛定理的的条件， 仍可以展开成傅立叶级数，做法如下

1、在或外补充函数的定义，使它被拓广成周期为的周期函数，按这种方式拓广函数定义域的过程称为周期延拓。

2、将展开成傅立叶级数。

3、限制，此时，这样便得到的傅立叶级数展开式。根据收敛定理，该级数在区间端点处收敛于。

【例3】将函数  展开成傅立叶级数。

解：将在上以为周期作周期延拓，其函数图形为

因此拓广后的周期函数在上连续，故它的傅立叶级数在上收敛于，计算傅立叶系数如下

故的傅立叶级数展开式为

利用这个展开式，我们可以导出一个著名的级数和。

令，有，于是有

若记    ， ，

 ，  

而       

 

故       

又       

故       

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/}