上两节我们讲了二分查找算法。当时我讲到，因为二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。如果数据存储在链表中，就真的没法用二分查找算法了吗？

实际上，我们只需要对链表稍加改造，就可以支持类似"二分"的查找算法。我们把改造之后的数据结构叫作跳表(Skip list)，也就是今天要讲的内容。

跳表这种数据结构对你来说，可能会比较陌生，因为一般的数据结构和算法书籍里都不怎么会讲。但是它确实是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速插入、删除、查找操作，写作起来也不复杂，甚至可以替代红黑树(Red-black tree)。

Redis中的有序集合(Sorted Set)就是用跳表来实现的。如果你有一定基础，应该知道红黑树也可以实现快速地插入、删除和查找操作。那Redis为什么会选择用跳表实现有序集合呢？为什么不用红黑树呢？学完今天的内容，你就知道答案了。

如何理解"跳表"

对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是O(n)。

那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立"索引"，查找起来是不是就会更快一些呢？没两个节点提取一个节点到上一级，我们把抽出来的那一级叫作索引或索引层。

你可以看我画的图。图中的down表示down指针，指向下一级节点。

如果我们现在要查找某个节点，比如16。我们可以现在索引层遍历，当遍历到索引层中值为13的结点时，我们发现下一个节点是17，那要查找的节点16肯定就在这两个节点之间。然后我们通过索引层节点的down指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要在遍历2个结点，就可以找到值等于16的这个节点了。这样，原来如果要查找16，需要遍历10个节点，现在只需要遍历7个结点。

从这个例子中，我们看出，加来一层索引之后，查找一个节点需要遍历的节点个数减少了，也就是说查找效率提高了。那如果我们在加一级索引呢？效率会不会提升更多呢？

跟前面建立第一级索引的方式相似，我们在第一级索引的基础之上，每两个节点就抽出一个节点到第二级索引。现在我们再来查找16，只需要遍历6个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。

我举的例子数据量不大，所以即便加了两级索引，查找效率的提升也并不明显。为了让你能真切地感受索引提升查询效率。我画了一个包含64个节点的链表，按照前面讲的这种思路，建立了五级索引。

从图中我们可以看出，原来没有索引的时候，查找62需要遍历62个结点，现在只需要遍历11个节点，速度是不是提高了很多？所以，当链表的长度n比较大时，比如1000、10000的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。

前面讲的这种链表加多级索引的结构，就是跳表。我通过例子给你展示了跳表是如何减少查询次数的，现在你应该比较清晰地知道，跳表确实是可以提高查询效率的。接下来，我会定量地分析一下，用跳表查询到底有多快。

用跳表查询到底有多快？

前面我讲过，算法的执行效率可以通过时间复杂度来度量，这里依旧可以用。我们知道，在一个单链表查询某个数据的时间复杂度是O(n)。那在一个具有多级索引的跳表中，查询某个数据的时间复杂度是多少呢？

这个时间复杂度的分析方法比较难想到。我把问题分解一下，先来看这样一个问题，如果链表里有n个结点，会有多少级索引呢？

按照我们刚才讲的，每两个节点会抽出一个节点作为上一级索引的节点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的接地那个数大约就是n/4，第三级索引的节点个数大约就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的节点个数是k-1级索引的节点个数的1/2，那第k级索引接地那的个数就是n/(2^k)。

假设索引有h级，最高级的索引有2个结点。通过上面的公式，我们可以得到n/(2^h) = 2，从而求得h=㏒₂n-1 。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是㏒₂n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个节点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)。

那这个m的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历3个接地那，也就是说m=3，为什么是3呢？我来解释一下。

假设我们要查找的数据是x，在k级索引中，我们遍历到y节点之后，发现x大于y，小于后面的节点z，所以我们通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个节点(包含y和z)，所以，我们在k-1级索引中最多只需要遍历3个节点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历3个节点。

通过上面的分析，我们得到m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。欢聚话说，我们其实是基于单链表实现了二分查找，是不是很神奇？不过，天下没有免费的午餐，这种查询效率的提升，前提是建立了很多级索引，也就是我们在链表（上）：如何实现LRU缓存淘汰算法?讲过的空间换时间的设计思路。

跳表是不是浪费内存？

比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？我们来分析一下跳表的空间复杂度。

跳表的空间复杂度分析并不难，我在前面说了，假设原始链表大小为n，那第一级索引大约有n/2个结点，第二级索引大约n/4个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，知道剩下2个结点。如果我们把每层索引的节点数写出来，就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是n/2 + n/4 + n/8 ... + 8 + 4 + 2 = n -2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。也就是说，如果将包含n个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个结点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢？

我们前面都是每两个节点抽一个节点到上级索引，如果我们每三个节点或五个节点，抽一个节点到上级索引，是不是就不用那么多索引节点了呢？我画了一个每三个节点抽一个示意图，你可以看下。

从图中可以看出，第一级索引需要大约n/3个结点，第二级索引需要大约n/9个结点。每往上一级，索引节点个数都除以3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引节点个数是1。我们把每级索引的接地那个数都写下来，也是一个等比数列。

通过等比数列求和公式，总的索引节点大约就是n/3+n/9+n/27+...+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是O(n)，但比上面的每两个节点抽一个节点的索引构建方法，要减少了一半的索引节点存储空间。

实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时，我们习惯性地把药处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引节点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引节点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

高效的动态插入和删除

跳表长什么样子我想你应该已经很清楚，它的查找操作我们刚才也讲过了。实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是O(logn)。

我们现在来看下，如何在跳表中插入一个数据，一级它是如何做大O(logn)的时间复杂度的？

我们知道，在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入节点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。

对于纯粹的单链表，需要遍历每个节点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个节点的时间复杂度是O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是O(logn)，我画了一张图，你可以很清晰地看到插入的过程。

好了，我们再来看删除操作。

如果这个节点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的节点，还还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除节点的前驱节点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的节点的时候，一定要获取前驱节点。当然，如果我们用的是双向链表，就不需要考虑这个问题。

跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某2个索引节点之间数据非常多的情况，极端情况下，跳表还会退化成单链表。

作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中节点多了，索引节点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。

如果你了解红黑树、AVL树这样平衡二叉树，你就知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡(如果不了解也没关系，我们后面会讲)，而跳表是通过随机函数来维护前面提到的"平衡性"。

当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢？

我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。至于随机函数的选择，我就不展开讲解了。如果你感兴趣的话，可以看看我在 GitHub 上的代码或者 Redis 中关于有序集合的跳表实现。

跳表的实现还是稍微有点复杂的，我将 Java 实现的代码放到了 GitHub 中，你可以根据我刚刚的讲解，对照着代码仔细思考一下。你不用死记硬背代码，跳表的实现并不是我们这节的重点。

解答开篇

今天的内容到此就讲完了。现在，我来讲解一下开篇的思考题：为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合，而不是红黑树？

Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的，严格点讲，其实还用到了散列表。不过散列表我们后面才会讲到，所以我们现在暂且忽略这部分。如果你去查看 Redis 的开发手册，就会发现，Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个：

• 插入一个数据；
• 删除一个数据；
• 查找一个数据；
• 按照区间查找数据(比如查找值在[100,356]之间的数据)；
• 迭代输出有序列表

其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度跟跳表是一样的。但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。

对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。

当然，Redis 之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因，比如，跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树来说还是好懂、好写多了，而简单就意味着可读性好，不容易出错。还有，跳表更加灵活，它可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。

不过，跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些，很多编程语言中的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。我们做业务开发的时候，直接拿来用就可以了，不用费劲自己去实现一个红黑树，但是跳表并没有一个现成的实现，所以在开发中，如果你想使用跳表，必须要自己实现。

内容小结

今天我们讲了跳表这种数据结构。跳表使用空间换时间的设计思路，通过构建多级索引来提高查询的效率，实现了基于链表的“二分查找”。跳表是一种动态数据结构，支持快速地插入、删除、查找操作，时间复杂度都是 O(logn)。

跳表的空间复杂度是 O(n)。不过，跳表的实现非常灵活，可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。虽然跳表的代码实现并不简单，但是作为一种动态数据结构，比起红黑树来说，实现要简单多了。所以很多时候，我们为了代码的简单、易读，比起红黑树，我们更倾向用跳表。

参考：

数据结构与算法之美_算法实战_算法面试-极客时间