论文导读:：利用MATLAB强大的绘图功能(4):。基于MATLAB的锁相环非线性分析。

论文关键词：锁相环，微分方程法，非线性，MATLAB

引言：锁相环是一种相位反馈的闭环自动控制系统[1]，环路锁定之后，平均稳态频差等于零， 稳态相差为固定值，锁相环的这一重要特征使其在电视、 通信、 雷达、遥测遥感、 测量仪表，特别是在人造卫星和宇宙飞船的无线电系统中，得到了广泛应用[2]。近年来，锁相环路的研究日趋深入，应用更加广泛。由于鉴相器模型是非线性的，所以锁相环是一个非线性系统[3]，很难用传统的解析方法来分析微分方程法，因而我们求助于仿真。下面我们使用微分方程法来分析一个二阶锁相环的非线性特性。

1.锁相环模型

1.1锁相环框图

锁相环基本模型如图1所示[4]。假设输入信号为

(1)

而压控振荡器的输出信号表达式假设为

(2)

锁相环的就是使VCO的相位与输入信号的相位同步，使得他们的相位差很小[5]

图1.锁相环框图

1.2鉴相器模型

开发锁相环模型的第一步就是建立鉴相器的模型。鉴相器的特性在很大程度上决定着锁相环的工作特性[6]。有许多种不同类型的鉴相器，而选择在特定环境下所使用的鉴相器模型取决于具体的应用。最常见的鉴相器模型就是正弦鉴相器，它的输出与输入信号的相位差的正弦成正比。正弦鉴相器可以看成是有一个乘法器和一个低通滤波器组成的[7]，则鉴相器输出信号为

(3)

其中，称为相位差论文开题报告范文。我们希望VCO的输出相位是输入相位的一个估计，因此，锁相环正常工作要求相位差趋于零。在稳态时，相位差是否为零取决于输入信号和环路滤波器[8] 。 使用传递函数为F(s)而单位冲击响应为f(t) 的环路滤波器，对鉴

相器输出进行滤波。这样，VCO的输入为

(4)

由定义，VCO的输出频率偏差与VCO的输入信号成正比，这样

(5)

式中，是VCO常数，单位。带入上面式子可得到

(6)

式中。

1.3非线性相位模型

从6式可以看出，与之间的关系与载波频率完全没有关系，因此仿真模型中不需要考虑载波频率。我们要寻找一个能描述与之间合适关系的模型。这种模型如图2所示，称为锁相环非线性相位模型。由于正弦函数是非线性的，所以他是一种非线性模型。这也是一种相位模型，他建立的输入信号相位偏差和VCO相位偏差之间的关系，而不是建立环路实际输入信号与VCO信号之间的关系[9]。

图2. 锁相环非线性相位模型

1.4线性相位模型和传递函数

若相位差很小，可以做如下近似

(7)

则环路方程变为

(8)

对(8)式做拉普拉斯变换，积分变换相当除以s微分方程法，时域卷积相当频域相乘，得

(9)

因此，关联VCO相位和输入相位的传递函数H(s)为

(10)

2．仿真

2.1二阶锁相环

锁相环的捕捉和跟踪特性很大程度上取决于环路阶数[10]。锁相环实现的阶数等于传递函数H(s)中有限极点的个数。因此，锁相环实现的阶数比环路滤波器传递函数F(s)中极点个数大一，这个多出来的极点就是来及VCO模型的积分器[11]，下面我们分析一下二阶锁相环。

对于二阶锁相环，环路滤波器的传递函数一般形式是

(11)

实际应用中，远小于1。对于环路线性传递函数，将滤波器传递函数代入式(10)得

(12)

2.2仿真流程图

环路滤波器不是一个真分式函数，应用长除法得

(14)

其中就有

(15)

其时域表达式为

(16) 我们可以直接实现滤波器模型，并定义，。可以得到二阶锁相环的信号流程，如图3所示。

图3. 二阶锁相环的信号流图

2.3.使用微分方程法对锁相环仿真

现在考虑使用微分方程法对锁相环进行仿真。首先导出微分方程。由图2可得

(17)

因为图2中锁相环模型中的VCO能用一个积分器表示，于是就有

(18)

把式(17)代入式(18)，并应用式(11)于环路滤波器，则

(19)

假设二阶环式是“理想的”(即=0)，此问题可以得到一点简化。

(19)

由于乘s等于时域微分，所以得到微分方程

(20)

又由定义有

(21)

和(22)

于是式子(20)可以写成

(23)

式中是锁相环的相位差，而是输入信号的相位偏差论文开题报告范文。

3．仿真结果及分析

假设这个系统在时刻有一个频率阶跃信号，此时，也即，其中=1MHz。当=0.1，环路自由振荡频率=200KHz微分方程法，则由上面的仿真模型可以得到以下结果。

3.1相位误差

稳态相位误差可以用拉普拉斯变换终值定理来计算[12]。环路的闭环相位传递函数为H(s)，则相位差传递函数为E(s)=1―H(s)，那么利用终值定理可以得到

(24)

代入以上数据，可以得到= 0.3755 rad，图4中稳态相位差的结果为0.384516 rad，因此，仿真结果和理论推导结论一致。

图4. 相位差

3.2捕获与跟踪过程

图5显示了VCO的输出信号频率的变化过程，能看到在频率捕获过程中的“周期

滑动”现象。这是在输入频率的变化大大超过环路的固有频率时，非线性同步器表现出来的特性。在图中我们也能看到相位锁定时所需要的时间。

图5. 输入频率和VCO输出频率

4.结语

本文通过建立锁相环的非线性相位模型，使用微分方程法，利用MATLAB仿真工具，从定量上分析了锁相环的非线性相位特性。从仿真图形可以看到，仿真结果与理论分析结果相吻合。通过这种分析方法，能为锁相环设计提供定量的分析，有助于电路的优化设计。

参考文献

[1]Donald R. Stephens. Phase-locked loopsfor wirelesscommunications[M].NewYork:KluwerAcademicPublisher, 2002:5-7

[2]Dan H. Wolaver. Phase-Locked LoopCircuit Design [M].New Jersey:Prentice Hall,1991:8-11

[3]RolandE.Best.Phase-LockedLoopsDesign,

simulation,andApplication[M].5.New

York.The McGraw-HillCompanies,2003:35-36