牛顿法求解非线性方程-程序员宅基地

基础知识

[步骤1] 准备：选定初始近似值 $x_0$ ，计算 $f_0=f(x_0),f_0'=f'(x_0)$
[步骤2] 迭代：按公式：
$x_1=x_0-f_0/f_0'$
迭代一次，得到新的近似值 $x_1$ ，计算 $f_1=f(x_1),f_1'=f(x_1)$
[步骤3]
控制：如果 $x_1$ 满足 $|\delta|<\varepsilon_1$ 或 $|\delta|<\varepsilon_2$ ，则终止迭代，以 $x_1$ 作为所求的根；否则转步骤4。此处 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 是允许误差，而
$\delta= \left\{ \begin{aligned} |x_1-x_0|,|x_1|<C\\ \frac{|x_1-x_0|}{|x_1|},|x_1|\geq C\\ \end{aligned} \right.$
其中C是取绝对误差或相对误差的控制常熟，一般可取 $C = 1$
[步骤4]
修改：如果迭代次数达到预先指定的次数N，或者 $f_1'=0$ ,则方法失败；否则以 $x_1,f_1,f_1')$ 代替 $x_0,f_0,f_0')$ 转步骤2继续迭代。

代码部分

import math
import numpy as np
import sympy
from sympy import *

x = symbols("x")
x_value=[]
x_iteration=[]
x_diff_iteration=[]


def function_value():
    return x*exp(x)-1

def Newton_Methods(x0,f):  #此处x0为初值,f为函数方程
    k=0                    #记录迭代次数
    x_value.append(x0)
    x_iteration.append(f.subs(x,x0))
    x_diff_iteration.append(diff(f,x).subs(x,x0))
    while(k<10):            #小于规定迭代次数
        x_value.append(x_value[k]-(x_iteration[k]/x_diff_iteration[k]))
        x_iteration.append(f.subs(x,x_value[k+1]))
        x_diff_iteration.append(diff(f,x).subs(x,x_value[k+1]))
        if(x_iteration[-1]==x_iteration[-2]):    #终止迭代条件
            break
        k=k+1
    return x_value


result=Newton_Methods(0.5,function_value())

#格式化输出
for i in range(len(result)):
    print('When k=%d,the x value is %.10f'%(i,result[i]))

运行结果

使用课本P223页例题7验证程序结果
用牛顿法解方程:
$xe^x-1=0$
结果如下：
在这里插入图片描述

本文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40758748/article/details/103356384

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